Question

6．若不等式x²+ax+1≥0對一切x∈（0，$\frac{1}{3}$]都成立，則實數(shù)a的最小值為-$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 對△=a²-4進行討論，結合二次函數(shù)的圖象列出不等式，解出a的取值范圍．

解答 解：設f（x）=x²+ax+1，
若△=a²-4≤0，即-2≤a≤2時，x²+ax+1≥0恒成立，符合題意．
若△=a²-4＞0，即a＜-2或a＞2，
當a＞2時，f（x）的對稱軸為x=-$\frac{a}{2}$＜0，f（0）=1，∴x²+ax+1≥0恒成立，符合題意．
當a＜-2時，若x²+ax+1≥0對一切x∈（0，$\frac{1}{3}$]都成立，則f（$\frac{1}{3}$）≥0，
∴$\frac{a}{3}$+$\frac{10}{9}$≥0，解得-$\frac{10}{3}$≤a＜-2．
綜上，a的最小值是-$\frac{10}{3}$．
故答案為-$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了二次不等式與二次函數(shù)的關系，結合二次函數(shù)的圖象列不等式是解題關鍵．