Question

已知函數(shù)f（x）=e^xg（x），其中g(shù)（x）=ax²﹣2x﹣2．
（1）若存在x∈R，使得g（x）＞0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)y=f（|sinx|）的值域．

Answer 1

解：（1）存在x∈R，使得g（x）＞0，
即存在x∈R，使得ax²﹣2x﹣2＞0，
當(dāng)a＞0時(shí)，滿(mǎn)足要求；
當(dāng)a=0時(shí)，滿(mǎn)足要求；
當(dāng)a＜0時(shí)，△＞0，解得
綜上得，
（2）f（x）=e^xg（x）=e^x（ax²﹣2x﹣2）
∴f'（x）=（e^x）'（ax²﹣2x﹣2）+e^x（ax²﹣2x﹣2）'
               =e^x（ax²﹣2x﹣2）+e^x（2ax﹣2）
               =e^x [ax²+（2a﹣2）x﹣4]
設(shè)|sinx|=t，（0≤t≤1），則轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f（t），（0≤t≤1）的值域．
當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=﹣2e^x（x+2）＜0，此時(shí)函數(shù)f（t）在[0，1]上為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（t）的值域?yàn)閇f（1），f（0）]，即[（a﹣4）e，﹣2]
當(dāng)a＜0時(shí)，
此時(shí)函數(shù)f（t）在[0，1]上為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（t）的值域?yàn)閇f（1），f（0）]，即[（a﹣4）e，﹣2]
當(dāng)a＞0時(shí)，
令f'（x）=0，解得或x=﹣2（舍）．
當(dāng)x變化時(shí)，f（x）與f'（x）的變化情況如下表：

若，即0＜a≤2時(shí)，函數(shù)f（t）在[0，1]上為減函數(shù)．
∴函數(shù)f（t）的值域?yàn)閇f（1），f（0）]，即[（a﹣4）e，﹣2]
若，即a＞2時(shí)，函數(shù)f（t）在上遞減，在上遞增
∴
函數(shù)f（t）在[0，1]上的最大值為f（0）與f（1）中的較大者
∵f（0）=﹣2，f（1）=（a﹣4）e，
∴f（1）﹣f（0）=（a﹣4）e+2
∴當(dāng)時(shí)，f（1）＞f（0），
此時(shí)y_max=f（1）=（a﹣4）e；
當(dāng)時(shí)，f（1）=f（0），此時(shí)y_max=f（0）=f（1）=﹣2；
當(dāng)時(shí)，f（1）＜f（0），此時(shí)y_max=f（0）=﹣2
綜上，當(dāng)a?2時(shí)，函數(shù)f（|sinx|）的值域?yàn)閇（a﹣4）e，﹣2]；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（|sinx|）的值域?yàn)?IMG style="WIDTH: 100px; HEIGHT: 37px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120904/201209041639541591532.png">；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（|sinx|）的值域?yàn)?IMG style="WIDTH: 147px; HEIGHT: 37px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120904/201209041639542092095.png">．