Question

2．在直角坐標(biāo)系中，圓C的方程是x²+y²-4x=0，圓心為C，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，曲線C₁：ρ=-4$\sqrt{3}$sinθ與圓C相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求直線AB的極坐標(biāo)方程；
（2）若過點(diǎn)C（2，0）的直線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）交直線AB于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，求|CD|：|CE|的值．

Answer 1

分析 （1）先利用 x=ρcosθ，y=ρsinθ將曲線C₁的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再與圓C的方程聯(lián)立方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到AB的直角坐標(biāo)方程，最后再將它化成極坐標(biāo)方程即可；
（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，利用參數(shù)的幾何意義可求|CD|：|CE|的值．

解答 解：（1）在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，
極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)有如下關(guān)系
 x=ρcosθ，y=ρsinθ，
曲線C₁：ρ=-$\sqrt{3}$sinθ，
∴ρ²=-4$\sqrt{3}$ρsinθ，
∴x²+y²=-4$\sqrt{3}$y，
∴曲線C₁：x²+y²+$\sqrt{3}$y=0，
∴直線AB的普通方程為：（x²+y²-4x）-（x²+y²+4$\sqrt{3}$y）=0，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴ρsinθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$ρcosθ，
∴tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線AB極坐標(biāo)方程為：θ=-$\frac{π}{6}$．
（2）根據(jù)（1）知，直線AB的直角坐標(biāo)方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
根據(jù)題意可以令D（x₁，y₁），則
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2+\frac{\sqrt{3}}{2}{t}_{1}}\\{{y}_{1}=\frac{1}{2}{t}_{1}}\end{array}\right.$，
又點(diǎn)D在直線AB上，所以$\frac{1}{2}$t₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t₁），
解得 t₁=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
根據(jù)參數(shù)方程的定義，得
|CD|=|t₁|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
同理，令交點(diǎn)E（x₂，y₂），則有
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2+\frac{\sqrt{3}}{2}{t}_{2}}\\{{y}_{2}=\frac{1}{2}{t}_{2}}\end{array}\right.$，
又點(diǎn)E在直線x=0上，令2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t₂=0，
∴t₂=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴|CE|=|t₂|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴|CD|：|CE|=1：2．

點(diǎn)評 本題主要考查圓的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，點(diǎn)到直線的距離公式．要求學(xué)生能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，屬于中等題．