Question

（1）在△ABC中，已知A=30°，B=120°，b=5，求C及a、c的值；
（2）在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，則△ABC的形狀是什么？

Answer 1

分析：（1）根據三角形的內角和定理，由A和B的度數求出C的度數即可；由b和sinA，sinB及sinC的值，利用正弦定理即可求出a與x的值；
（2）根據題中的條件acosA+bcosB=ccosC和三角形的內角和公式，利用三角函數的和（差）角公式和誘導公式得到2cosAcosB=0，得到A或B為

π

2

得到答案即可．

解答：解：（1）∵A+B+C=180°，A=30°，B=120°，
∴C=180°-A-B=30°；
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，且b=5，
a=

bsinA

sinB

=

5× 1 2

3 2

=

5 3

3

；c=

asinC

sinA

=

5 3 3 × 1 2

1 2

=

5 3

3

；
（2）∵acosA+bcosB=ccosC，
∴sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，
∴sin2A+sin2B=sin2C，2sin（A+B）cos（A-B）=2sinCcosC，
∴cos（A-B）=-cos（A+B），2cosAcosB=0，
∴cosA=0或cosB=0，得 A=

π

2

或 B=

π

2

，
∴△ABC是直角三角形．

點評：此題考查了正弦定理，以及三角函數中的恒等變換應用的能力．要靈活運用三角函數的和（差）角公式和誘導公式，牢記特殊角的三角函數值．