Question

已知f（x）=2cos²x+sin2x+a （a∈R，a為常數(shù)）
（Ⅰ） 若x∈R，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ） 若x∈[0，]時，f（x）的最大值為4，并求此時f（x）的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=2cos²x+sin2x+a
=cos2x+sin2x+a+1
=2 sin（2x+）+a+1，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈Z．…（6分）
（Ⅱ）∵x∈[0，]時，f（x）的最大值為4
∴≤2x+=u≤
∴f（x）在[]單調(diào)遞增，在（]單調(diào)遞減
∴f（x）_max=2+a+1=4，
∴a=1．…（9分）
故：當(dāng)2x+=，即時，
f（x）_min=2×（）+1+1=1…（12分）
分析：（1）利用降冪公式cos²x=和輔助角公式可將f（x）=2cos²x+sin2x+a 轉(zhuǎn)化為f（x）=2 sin（2x+）+a+1再類比正弦函數(shù)的單調(diào)性可得不等式2kπ-≤2x≤2kπ，k∈z的解集即為f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）可將2x看做一個整體u然后判斷出f（x）在u的范圍上的單調(diào)性求出f（x）的最大值再根據(jù)f（x）的最大值為4可求出a進而求出最小值．
點評：本題主要考察了函數(shù)y=Asin（wx+∅）+k的單調(diào)性，屬中等難度的試題．解題的關(guān)鍵是牢記函數(shù)y=Asin（wx+∅）+k的單調(diào)區(qū)間的求解和在某一區(qū)間上單調(diào)性的判斷！