Question

已知a，b，c∈R，函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，g（x）=ax+b，當-1≤x≤1時，|f（x）|≤1，
求證：①|(zhì)c|≤1．
②當-1≤x≤1時，|g（x）|≤2．

Answer 1

證明：①∵當-1≤x≤1時，|f（x）|≤1，
令x=0得|c|=|f（0）|≤1，即|c|≤1．②當a＞0時，g（x）=ax+b在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴g（-1）≤g（x）≤g（1），
又∵|f（x）|≤1（-1≤x≤1），|c|≤1，
∴g（1）=a+b=f（1）-c≤|f（1）|+|c|≤2，
g（-1）=-a+b=-f（-1）+c≥-（|f（-1）|+|c|）≥-2，
由此得|g（x）|≤2；
同理 當a＜0時，g（x）=ax+b在[-1，1]上是減函數(shù)，
∴g（-1）≥g（x）≥g（1），
又∵|f（x）|≤1（-1≤x≤1），|c|≤1，
∴g（-1）=-a+b=-f（-1）+c≤|f（-1）|+|c|≤2，
g（1）=a+b=f（1）-c≥-（|f（1）|+|c|）≥-2，
由此得|g（x）|≤2；
當a=0時，g（x）=b，f（x）=bx+c．
∵-1≤x≤1，
∴|g（x）|=|f（1）-c|≤|f（1）|+|c|≤2．
綜上得|g（x）|≤2．