Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在處的切線斜率為2，試求a的值及此時(shí)的切線方程；

（2）若函數(shù)在區(qū)間（其中…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）或.

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；

（2）討論參數(shù)的值，確定函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，從而根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（1）由，（）.

由已知.

可得：

又此時(shí).

所以所求的切線方程為：.

即：

（2），其中

①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間恒成立，在區(qū)間單調(diào)遞增

又∵，∴函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，符合題意.

②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間恒成立，在區(qū)間單調(diào)遞減

又∵，∴函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，符合題意.

③當(dāng)時(shí)

（i）時(shí)，，單調(diào)遞減

又∵，，∴函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)

（ii）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增

∴要使在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，只有當(dāng)時(shí)符合題意

即，即

∴時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)；

∴綜上a的取值范圍是或.