Question

如圖所示，在直三棱柱中，，D為AC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：

(Ⅱ)若，求證：；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，  AB=1，求三棱錐B-A₁C₁D的體積．

Answer 1

解：(Ⅰ) 連結(jié)AB₁交A₁B于E，連ED．

∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱中，且AB=BB_l，

∴側(cè)面ABB₁A₁是一正方形． 

∵E是AB₁的中點(diǎn)．又已知D為AC的中點(diǎn)．

∴在△AB₁C中，ED是中位線．

∴B₁C//ED．

∴B₁C∥平面A₁BD．

(Ⅱ)  ∵ AC₁⊥平面A₁BD，∴AC₁⊥A₁B．

又∵側(cè)面ABB₁A₁是一正方形，∴A₁B⊥AB₁．

∴A₁B⊥平面AB₁C₁．∴A₁B⊥B₁C₁．

又∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴BB₁⊥B₁C₁．

∴B_lC_l⊥平面ABB₁A₁      

(Ⅲ)  ∵AB=BC，D為AC的中點(diǎn)，

∴BD⊥AC．∴BD⊥平面DC₁A₁．

∴BD就是三棱錐B-A₁C₁D的高．

由(Ⅱ)知B_lC_l⊥平面ABB_lA_l，∴BC⊥平面ABB_lA_l．

∴BC⊥AB．∴△ABC是直角等腰三角形．

又∵AB=BC=1  ∴BD=． ∴AC=A₁C₁=

∴三棱錐B-A₁C₁D的體積