Question

雙曲線E的漸近線方程為y=±

4

3

x，且經(jīng)過點(2

3

，

4 3

3

)
（1）求雙曲線E的方程；
（2）F₁，F(xiàn)₂為雙曲線E的兩個焦點，P為雙曲線上一點，若|PF₁|•|PF₂|=32，求∠F₁PF₂的大�。�

Answer 1

分析：（1）設(shè)雙曲線方程為

x2

9

-

y2

16

=λ（λ≠0），代入點(2

3

，

4 3

3

)，可得λ的值，從而可求雙曲線E的方程；
（2）利用雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理，即可求∠F₁PF₂的大�。�

解答：解：（1）設(shè)雙曲線方程為

x2

9

-

y2

16

=λ（λ≠0），
代入點(2

3

，

4 3

3

)，可得

12

9

-

3

9

=λ，
∴λ=1，
∴雙曲線E的方程為

x2

9

-

y2

16

=1；
（2）由

x2

9

-

y2

16

=1得c²=25，
∴4c²=100
設(shè)|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，則|d₁-d₂|=6…①
由已知條件：d₁•d₂=32…②
由①、②得，d₁²+d₂²=100
在△F₁PF₂中，由余弦定理得，cos∠F₁PF₂=

d12+d22-4c2

2d1d2

=0
∴∠F₁PF₂=90°

點評：解決焦點三角形問題一般要用到兩種知識，一是曲線定義，本題中由雙曲線定義可得焦半徑之差，已知有焦半徑之積，故可求出焦半徑或其關(guān)系；二是余弦定理，利用解三角形知識求角或面積．