Question

已知二次函數(shù)f(x)=ax²+bx+c(a,b,c均為實數(shù)),滿足a-b+c=0，對于任意實數(shù)x 都有f (x)-x≥0，并且當(dāng)x∈（0，2）時,有f (x)≤.

   （1）求f (1)的值；

（2）證明：ac≥；

（3）當(dāng)x∈[-2，2]且a+c取得最小值時，函數(shù)F(x)=f (x)-mx (m為實數(shù))是單調(diào)的，求證：m≤或m≥.

Answer 1

（1）f (1)=1.

（2）見解析

（3）見解析

解析:

（1）∵對于任意x∈R，都有f (x)-x≥0,且當(dāng)x∈(0,2)時,

有f (x) ≤.令x=1

∴1≤f (1) ≤.

即f (1)=1.  5分

   （2） 由a-b+c=0及f (1)=1.

有,可得b=a+c=. 7分

又對任意x,f(x)-x≥0,即ax²-x+c≥0.

∴a＞0且△≤0.

即-4ac≤0,解得ac≥.   9分

（3） 由(2)可知a＞0,c＞0.

a+c≥2≥2·=.   10分

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.此時

a=c=.

∴f (x)= x²+x+,

F (x)=f (x)-mx=[x²+(2-4m)x+1].    12分

當(dāng)x∈[-2,2]時，f (x)是單調(diào)的，所以F (x)的頂點一定在[-2，2]的外邊.

∴≥2.  13分

解得m≤-或m≥. …………………………………………………………..14分