Question

已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）

解析試題分析：（1）由離心率為，得，再根據(jù)橢圓C過(guò)點(diǎn)，代入得，聯(lián)立之可求得的值，進(jìn)而寫(xiě)出橢圓方程；（2）考察直線和橢圓的位置關(guān)系，一般要將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，得關(guān)于某一變量的一元二次方程，設(shè)交點(diǎn)，然后利用韋達(dá)定理達(dá)到設(shè)而不求的目的，同時(shí)要注意的隱含條件，該題設(shè)直線方程為，代入橢圓方程得，則>0,得的范圍，設(shè)交點(diǎn)，，將表示為，然后利用韋達(dá)定理將其表示為的式子，進(jìn)而可以看成是自變量為的函數(shù)，求其值域即可.
試題解析：（1）由題意得 解得，．橢圓的方程為．
（2）由題意顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
由得. 直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，
，解得.設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，則，，，．
．
，．的取值范圍為．
考點(diǎn)：1、橢圓的方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2、向量的數(shù)量積運(yùn)算；3、韋達(dá)定理.