Question

6．若數(shù)列a_n=2n-1，T_n=$\frac{（1+\frac{1}{{a}_{1}}）（1+\frac{1}{{a}_{2}}）…（1+\frac{1}{{a}_{n}}）}{\sqrt{2n+1}}$（n∈N^*），則T_n最小值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 求出T₁的值，然后說明數(shù)列{T_n}是遞增數(shù)列得答案．

解答 解：當n=1時，a₁=1，T₁=$\frac{1+\frac{1}{{a}_{1}}}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
而$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$=$\frac{\frac{（1+\frac{1}{{a}_{1}}）（1+\frac{1}{{a}_{2}}）…（1+\frac{1}{{a}_{n+1}}）}{\sqrt{2n+3}}}{\frac{（1+\frac{1}{{a}_{1}}）（1+\frac{1}{{a}_{2}}）…（1+\frac{1}{{a}_{n}}）}{\sqrt{2n+1}}}$=$\frac{（1+\frac{1}{{a}_{n+1}}）•\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n+3}}$
=$\frac{（1+\frac{1}{2n+1}）•\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n+3}}$=$\frac{2n+2}{\sqrt{（2n+1）（2n+3）}}$=$\sqrt{\frac{4{n}^{2}+8n+4}{4{n}^{2}+8n+3}}＞1$．
∴數(shù)列{T_n}是遞增數(shù)列，則T_n最小值為${T}_{1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．