Question

12．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，若對(duì)任意x＞0有f（x）＞ax²-1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 利用分離常數(shù)法，求出a的不等式，構(gòu)造函數(shù)g（x），求出g（x）的取值范圍即得a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞ax²-1恒成立，
∴x+$\frac{1}{{e}^{x}}$＞ax²-1，
即a＜$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}{e}^{x}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
設(shè)g（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}{e}^{x}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，其中x＞0，
∴g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{x+2}{{x}^{3}{e}^{x}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$＜0在x＞0恒成立，
g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)；
∴g（x）＞0，即a≤0；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立問題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，是綜合性題目．