Question

6．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)，0＜α＜$\frac{π}{2}$），若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ+2cosθ=ρ（ρ≥0，0≤θ＜2π），直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求證：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$是定值；
（2）若定點(diǎn)P（1，0），且|PA|=2|PB|，求直線1的普通方程．

Answer 1

分析 （1）把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，證明$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-1；
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，代入y²=2x，可得t²sin²α-2tcosα-2=0，利用參數(shù)的幾何意義，即可求解．

解答 （1）證明：直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)，0＜α＜$\frac{π}{2}$），普通方程為y=tanα（x-1），
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ+2cosθ=ρ的直角坐標(biāo)方程為y²=2x，
聯(lián)立可得tan²αx-（2tan²α+2）x+tan²α=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=2+$\frac{2}{ta{n}^{2}α}$，x₁x₂=1，
∴y₁y₂=-2，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-1定值；
（2）解：直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，代入y²=2x，可得t²sin²α-2tcosα-2=0，
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁=-2t₂，t₁+t₂=$\frac{2cosα}{si{n}^{2}α}$，t₁t₂=-$\frac{2}{si{n}^{2}α}$，
化簡(jiǎn)可得cosα=$±\frac{1}{2}$，∴tanα=±$\sqrt{3}$，
∴直線1的普通方程為y=$±\sqrt{3}$（x-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．