Question

18．已知函數(shù)f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx．
（1）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最大值．
（3）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 利用和角公式，以及二倍角公式，化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，
（1）將x=$\frac{π}{6}$代入可得f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）根據(jù)A=1，ω=2，B=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得函數(shù)f（x）的最小正周期及最大值．
（3）利用y=sinx的單調(diào)增區(qū)間，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）當x=$\frac{π}{6}$時，f（$\frac{π}{6}$）=sin（2×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin$\frac{2π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0；
（2）∵A=1，ω=2，B=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
最大值為1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）由2x+$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z得：
2x∈[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
即x∈[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z，

點評 本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查計算能力，邏輯思維能力，是中檔題．