Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（I）若數(shù)列{b_n}滿足：，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）設(shè)c_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求使（n∈N^*）恒成立的實(shí)數(shù)k的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根據(jù)2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆求出等比數(shù)列的通項(xiàng)；進(jìn)而求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，最后集合分組求和即可得到數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）先求出c_n得表達(dá)式，再利用裂項(xiàng)求和求出T_n；進(jìn)而把（n∈N^*）恒成立轉(zhuǎn)化為k≥恒成立，最后求出不等式右邊的最大值即可．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由=9a₂a₆得=9
所以q²=．
由條件可知q＞0，故q=．
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)式為a_n=
∴b_n=3ⁿ+ln=3ⁿ-nln3．
所以S_n=-ln3．
（Ⅱ）∵C_n=log₃+log₃a₂+…+log₃a_n，
=-（1+2+…+n）=-
故=-=-2（-），
T_n=+…+=-2[（1-）+（-）+…+（-）]=-
所以數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為-．
（n∈N^*）化簡得k≥恒成立
設(shè)d_n=，則d_n+1-d_n==．
當(dāng)n≥5，d_n+1≤d_n，{d_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，1≤n＜5，d_n+1＞d_n，{d_n}為單調(diào)遞增數(shù)列
當(dāng)n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列
=d₄＜d₅=，所以，n=5時，d_n取得最大值為
所以，使（n∈N^*）恒成立的實(shí)數(shù)k≥．
點(diǎn)評：本題主要考察數(shù)列與不等式的綜合以及數(shù)列求和的分組求和法，是對數(shù)列知識的綜合考察，屬于中檔題目．