Question

11．將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC成60°的兩面角，在折起后形成的三棱錐D-ABC中，給出下列三個(gè)命題：
①AC⊥BD；
②△DBC是等邊三角形；
③三棱錐D-ABC的體積是$\frac{\sqrt{6}}{24}$．
其中正確命題的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 通過證明AC⊥平面BOD，證明AC⊥BD，可得①正確；
過D作DO⊥AC于O，連接BO，利用勾股定理求得BD長(zhǎng)，可得②正確；
利用棱錐的體積公式計(jì)算三棱錐的體積，可得③錯(cuò)誤；

解答 解：過D作DO⊥AC于O，連接BO，由題意知：DO=BO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵平面ADC⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，∴DO⊥BO，∴BD=1，即△BCD為等邊三角形，②正確；
∵O為AC的中點(diǎn)，AB=BC，∴BO⊥AC，∴AC⊥平面BOD，BD?平面BOD，∴AC⊥BD，①正確；
∵V_D-ABC=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$，∴③錯(cuò)誤；
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的性質(zhì)及異面直線所成角的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算能力．