Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），橢圓上一點A(-1，-

3

2

)到其兩焦點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的標準方程．
（2）如果斜率為

1

2

的直線與橢圓交于E，F(xiàn)兩點，試判斷直線AE，AF的斜率之和是否為定值？若是，求出其定值．若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用橢圓上一點A(-1，-

3

2

)到其兩焦點的距離之和為4，建立方程，求出a，b，即可橢圓C的標準方程；
（2）設直線EF的方程為：y=

1

2

x+m，代入

x2

4

+

y2

3

=1，求出直線AE、AF的斜率之和，即可得出結論．

解答： 解：（1）∵橢圓上一點A(-1，-

3

2

)到其兩焦點的距離之和為4，
∴2a=4，

1

a2

+

9 4

b2

=1，
∴a=2，b=

3

，
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設直線EF的方程為：y=

1

2

x+m，
代入

x2

4

+

y2

3

=1得：x²+mx+m²-3=0．△=m²-4（m²-3）＞0且x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3
設A（x₀，y₀），由題意，k_AE=

y1-y0

x1-x0

，k_AF=

y2-y0

x2-x0

∴k_AE+k_AF=

y1-y0

x1-x0

+

y2-y0

x2-x0

，
化簡得分子為：t=y₁x₂+y₂x₁-x₀（y₁+y₂）-y₀（x₁+x₂）+2x₀y₀，
又y₁=

1

2

x₁+m，y₂=

1

2

x₂+m，
∴t=（x₁+x₂）（y₁+y₂）-x₁y₁-x₂y₂-x₀（y₁+y₂）-y₀（x₁+x₂）+2x₀y₀
=（m+2）（x₁+x₂）+x₁x₂+2m+3=（m+2）（-m）+m²-3+2m+3=0，
∴k_AE+k_AF=0．
即直線AE、AF的斜率之和是為定值0．

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．