Question

1．已知定義為R的函數f（x）滿足下列條件：（1）對任意的實數x，y都有：f（x+y）=f（x）+f（y）-1，（2）當x＞0時，f（x）＞1．
（1）求f（0）；
（2）求證：f（x）在R上為增函數；
（3）若f（6）=7，a≤-3，關于x的不等式f（ax-2）+f（x-x²）＜3對任意的x∈[-1，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可在恒等式中令x=y=0，即可解出f（0）=0，
（2）由題設條件對任意x₁、x₂在所給區(qū)間內比較f（x₂）-f（x₁）與0的大小即可；
（3）由原不等式可化為：f（ax-2+x-x²）+1＜3，化為f[-x²+（a+1）x-2]＜f（1），對任意的x∈[-1，+∞）恒成立，然后構造函數g（x）=x²-（a+1）x+3，即g（x）_min＞0成立即可，利用二次函數的性質，通過分類討論求解實數a的取值范圍．

解答 解：（1）由題設，令x=y=0，
恒等式可變?yōu)閒（0+0）=f（0）+f（0）-1，
解得f（0）=1，
（2）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
由題設x＞0時，f（x）＞1，可得f（x₂-x₁）＞1，
∵f（x+y）=f（x）+f（y）-1，
∴f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）-1＞f（x₁），
所以 f（x）是R上增函數；
（3）由已知條件有：f（ax-2）+f（x-x²）=f（ax-2+x-x²）-1
故原不等式可化為：f（ax-2+x-x²）＜4
即f[-x²+（a+1）x-2]＜2∵f（6）=f（3）+f（3）-1∴f（3）=4
∴f（ax-2+x-x²）＜f（3）
∴-x²+ax+x-2＜3
∴x²-（a+1）x+5＞0對任意的x∈[-1，+∞）恒成立．
則$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{\frac{a+1}{2}≤-1}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{2}-（a+1）×（-1）+5＞0}\\{a+1≤-2}\end{array}\right.$
∴a的取值范圍是-7＜a≤-3．

點評 本題考點是抽象函數及其應用，考查用賦值法求函數值，以及靈活利用所給的恒等式證明函數的單調性，此類題要求答題者有較高的數學思辨能力，能從所給的條件中組織出證明問題的組合來．