Question

3．設F₁和F₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，若F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三個頂點，則雙曲線的漸近線方程是（　�。�

• A． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
• B． y=±$\sqrt{3}$x
• C． y=±$\frac{\sqrt{21}}{7}$x
• D． y=±$\frac{\sqrt{21}}{3}$x

Answer 1

分析 設F₁（-c，0），F₂（c，0），則|F₁P|=$\sqrt{{c}^{2}+4^{2}}$，由F₁、F₂、P（0，2b）是正三角形的三個頂點可知|F₁P|=$\sqrt{{c}^{2}+4^{2}}$=2c，由此可求出b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，進而得到雙曲線的漸近線方程．

解答 解：若F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三個頂點，
設F₁（-c，0），F₂（c，0），則|F₁P|=$\sqrt{{c}^{2}+4^{2}}$，
∵F₁、F₂、P（0，2b）是正三角形的三個頂點，
∴$\sqrt{{c}^{2}+4^{2}}$=2c，∴c²+4b²=4c²，
∴c²+4（c²-a²）=4c²，
∴c²=4a²，即c=2a，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即為y=±$\sqrt{3}$x．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的性質，主要是漸近線方程的求法，在解題時要注意審題，由F₁、F₂、P（0，2b）是正三角形的三個頂點建立方程，考查運算能力，屬于中檔題．