Question

16．如果函數(shù)y=y（x）由方程${∫}_{0}^{y}$e^tdt-${∫}_{0}^{x}$costdt=0所確定，則$\frac{dy}{dx}$=$\frac{cosx}{1+sinx}$．

Answer 1

分析 求定積分由指數(shù)和對數(shù)的運算可得y=ln（1+sinx），求導數(shù)可得$\frac{dy}{dx}$

解答 解：∵${∫}_{0}^{y}$e^tdt-${∫}_{0}^{x}$costdt=0，
∴e^t${|}_{0}^{y}$-sint${|}_{0}^{x}$=0，即（e^y-e⁰）-（sinx-sin0）=0，
即e^y=1+sinx，∴y=ln（1+sinx），
求導數(shù)可得$\frac{dy}{dx}$=$\frac{1}{1+sinx}$•cosx=$\frac{cosx}{1+sinx}$
故答案為：$\frac{cosx}{1+sinx}$

點評 本題考查定積分的運算，涉及導數(shù)和對數(shù)的運算，屬基礎題．