Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|2x-1|
（Ⅰ）解關(guān)于x的不等式f（x）＜-1
（Ⅱ）若f（x）≤a|x-2|對(duì)任意x∈R成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值符號(hào)求解f（x）＜-1即可．
（Ⅱ）f（x）≤a|x-2|對(duì)任意x∈R成立，通過(guò)變形利用絕對(duì)值的幾何意義求出表達(dá)式的最值，然后求實(shí)數(shù)a的最小值．

解答 解：（Ⅰ）解關(guān)于x的不等式f（x）＜-1即：|x+1|-|2x-1|＜-1，
當(dāng)x＜-1時(shí)，不等式化為：-x-1+2x-1＜-1，可得x＜-1；
當(dāng)-1≤x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，不等式化為：x+1+2x-1＜-1，可得-1≤x＜-$\frac{1}{3}$；
當(dāng)x$≥\frac{1}{2}$時(shí)，不等式化為：x+1-2x+1＜-1，解得x＞3；
綜上，不等式的解集為：{x|x$＜-\frac{1}{3}$或x＞3}．
（Ⅱ）若f（x）≤a|x-2|對(duì)任意x∈R成立，即：|x+1|-|2x-1|≤a|x-2|．
可得：$\left|\frac{x+1}{x-2}\right|-\left|\frac{2x-1}{x-2}\right|≤a$對(duì)任意x∈R成立，只需求出$\left|\frac{x+1}{x-2}\right|-\left|\frac{2x-1}{x-2}\right|$的最大值，
而$\left|\frac{x+1}{x-2}\right|-\left|\frac{2x-1}{x-2}\right|$=$|1+\frac{3}{x-2}|-|2+\frac{3}{x-2}|$，令$\frac{3}{x-2}=t$，可得|1+t|-|2+t|≤a，
由絕對(duì)值的幾何意義可知|1+t|-|2+t|的最大值為：!，
實(shí)數(shù)a的最小值為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用以及計(jì)算能力．