Question

已知函數(shù)f(x)＝x²－(1＋2a)x＋aln x(a為常數(shù))．

(1)當(dāng)a＝－1時，求曲線y＝f(x)在x＝1處切線的方程；

(2)當(dāng)a＞0時，討論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解　(1)當(dāng)a＝－1時，f(x)＝x²＋x－ln x，則f′(x)＝2x＋1－，(2分)

所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.

所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的方程為：y－2＝2(x－1)，

即：y＝2x.(6分)

(2)由題意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋＝ (x＞0)，

由f′(x)＝0，得x₁＝，x₂＝a，(8分)

①當(dāng)0＜a＜時，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜a或＜x＜1

由f′(x)＜0，又知x＞0，得a＜x＜，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，a)和，單調(diào)減區(qū)間是，(10分)

②當(dāng)a＝時，f′(x)＝≥0，且僅當(dāng)x＝時，f′(x)＝0，

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是單調(diào)增函數(shù)．(11分)

③當(dāng)＜a＜1時，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜或a＜x＜1，

由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜a，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是和(a,1)，單調(diào)減區(qū)間是，(13分)

④當(dāng)a≥1時，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜，

由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜1，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.(16分)