Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩焦點為F₁，F(xiàn)₂，（O為坐標原點），P為橢圓上一點，OP，F(xiàn)₂P的斜率分別為-

24

7

和-

3

4

．
（1）求證：

PF1

•

PF2

=0；
（2）若△OPF₁的面積為3，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）解法一 依題意，令∠PF₂O=α，∠POF₁=γ，則tanα=

3

4

，tan2α=

24

7

=tanγ．所以γ=2α=α+β，α=β．OP=OF₂=OF₁，θ+β=90°，由此能證明

PF

1•

PF2

=0．
解法二 設(shè) P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由題意，得

y0

x0

=-

24

7

，

y0

x0-c

=-

3

4

．所以

x0=- 21 75 c y0= 72 75 c.

由此能夠證明

PF1

•

PF2

=0．
（2）在Rt△PF₁F₂中，PF₁=4m，所以F1F2=5m，6=2S△OPF1=

1

2

•3m•4m，由此能求出橢圓方程．

解答：解：（1）解法一 依題意，
令∠PF₂O=α，∠POF₁=γ，
則tanα=

3

4

，tan2α=

24

7

=tanγ．
∴γ=2α=α+β，
∴α=β．
∴OP=OF₂=OF₁，
θ+β=90°，
所以

PF

1•

PF2

=0．
解法二 設(shè) P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由題意，得

y0

x0

=-

24

7

，①

y0

x0-c

=-

3

4

． ②
由①、②，可知

x0=- 21 75 c y0= 72 75 c.

∴kPF1=

y0

x0+c

=

72 75 c

- 21 75 c+c

=

4

3

．
∴kPF1•kPF2=-1，
∴PF₁⊥PF₂，
∴

PF1

•

PF2

=0．
（2）在Rt△PF₁F₂中，PF₁=4m，
∴F1F2=5m，6=2S△OPF1=

1

2

•3m•4m，
所以m=1，2a=7，2c=5，
∴b²=6．
所以橢圓方程為

x2

49 4

+

y2

6

=1．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．