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【題目】已知橢圓：()的右焦點(diǎn)為，離心率為.直線過點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；

（3）延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，求此時(shí)直線的斜率.

【答案】（1）.（2）證明見解析.（3）直線的斜率：

【解析】

（1）由題意知 ，，可得，，.故得到橢圓方程.

（2）設(shè)直線的方程為()，將直線與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理得到，進(jìn)而得解.

（3）四邊形為平行四邊形，則.所以，

，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，即可得出答案.

（1）由已知，，

又，解得，

所以橢圓方程為.

（2）設(shè)直線的方程為()

聯(lián)立消去得

，不妨設(shè)，

則，因?yàn)?/span>為線段的中點(diǎn)

所以，

所以

所以為定值.

（3）若四邊形為平行四邊形，則

所以

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以

解得，即

所以當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，直線的斜率為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)的單位圓O在C的內(nèi)部，且與C有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線與C只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線l過橢圓C的左焦點(diǎn)F，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的中垂線交x軸于點(diǎn)P，試求的面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為F1，F2，點(diǎn)在橢圓C上，滿足.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線l1過點(diǎn)P，且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線l2與l1的傾斜角互補(bǔ)，且與橢圓交于異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)M，N，與直線x=1交于點(diǎn)K(K介于M，N兩點(diǎn)之間).

①問：直線PM與PN的斜率之和能否為定值，若能，求出定值并寫出詳細(xì)計(jì)算過程；若不能，請(qǐng)說明理由；

②求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】用計(jì)算機(jī)生成隨機(jī)數(shù)表模擬預(yù)測(cè)未來三天降雨情況，規(guī)定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9表示不降雨，根據(jù)隨機(jī)生成的10組三位數(shù)：654 439 565 918 288 674 374 968 224 337，則預(yù)計(jì)未來三天僅有一天降雨的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】第7屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行，賽期10天，共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng)，329個(gè)小項(xiàng)，共有來自100多個(gè)國(guó)家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺(tái)競(jìng)技．前期為迎接軍運(yùn)會(huì)順利召開，特招聘了3萬名志愿者．某部門為了了解志愿者的基本情況，調(diào)查了其中100名志愿者的年齡，得到了他們年齡的中位數(shù)為34歲，年齡在歲內(nèi)的人數(shù)為15人，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫出如所示的頻率分布直方圖：

（1）求，的值并估算出志愿者的平均年齡（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）本次軍運(yùn)會(huì)志愿者主要通過直接到武漢軍運(yùn)會(huì)執(zhí)委會(huì)志愿者部現(xiàn)場(chǎng)報(bào)名和登錄第七屆世界軍運(yùn)會(huì)官網(wǎng)報(bào)名，即現(xiàn)場(chǎng)和網(wǎng)絡(luò)兩種方式報(bào)名調(diào)查．這100位志愿者的報(bào)名方式部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示，完善下面的表格，通過計(jì)算說明能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“選擇哪種報(bào)名方式與性別有關(guān)系”？

男性

女性

總計(jì)

現(xiàn)場(chǎng)報(bào)名

50

網(wǎng)絡(luò)報(bào)名

31

總計(jì)

50

參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形是矩形，，，，分別為，上的一點(diǎn)，且，，將矩形卷成以，為母線的圓柱的半個(gè)側(cè)面，且，分別為圓柱的上、下底面的直徑.

（1）求證：平面平面；

（2）求四棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在直角梯形中，AB∥CD，，且．現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，如圖2．

（Ⅰ）求證：BC⊥平面DBE；

（Ⅱ）求點(diǎn)D到平面BEC的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)引圓的兩條切線，切線與拋物線的另一交點(diǎn)分別為，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某快遞網(wǎng)點(diǎn)收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是重量不超過的包裹收費(fèi)10元，重量超過的包裹，除收費(fèi)10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計(jì)算）需要再收費(fèi)5元．該公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）．

（1）求這60天每天包裹數(shù)量的平均數(shù)和中位數(shù)；

（2）該快遞網(wǎng)點(diǎn)負(fù)責(zé)人從收取的每件快遞的費(fèi)用中抽取5元作為工作人員的工資和網(wǎng)點(diǎn)的利潤(rùn)，剩余的作為其他費(fèi)用．已知該網(wǎng)點(diǎn)有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計(jì)總體，試估計(jì)該網(wǎng)點(diǎn)每天的利潤(rùn)有多少元？

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