Question

15．已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O，離心率等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為4$\sqrt{5}$，直線l：y=kx+m與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓E交于A、B兩個相異點(diǎn)，且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$．
（I）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在m，使$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）運(yùn)用向量的加減運(yùn)算，可得λ=3，由題意可得P（0，m），且-2＜m＜2，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示和直線方程代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得m²=$\frac{4+{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=1+$\frac{3}{1+{k}^{2}}$，再由不等式的性質(zhì)，可得所求范圍．

解答 解：（I）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，4$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
a²-b²=c²，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1；
（Ⅱ）$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，可得$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$），
$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=（1+λ）$\overrightarrow{OP}$，
由$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$，可得λ=3，
由題意可得P（0，m），且-2＜m＜2，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{PB}$，可得-x₁=3x₂，①
由直線y=kx+m代入橢圓方程y²+4x²=4，
可得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{2km}{4+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$，②
由①②可得m²=$\frac{4+{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=1+$\frac{3}{1+{k}^{2}}$，
由1+k²≥1，可得0＜$\frac{3}{1+{k}^{2}}$≤3，
即有1＜m²≤4，由于m∈（-2，2），
當(dāng)m=0時，O，P重合，λ=1顯然成立．
可得m的取值范圍是（-2，-1）∪（1，2）∪{0}．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，考查向量共線的坐標(biāo)表示，以及直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．