Question

已知AB是拋物線y²=ax（a＞0）的焦點弦，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），點F是拋物線的焦點，則有S_△AOB=    （θ為直線AB的傾斜角）．

Answer 1

【答案】分析：設直線AB的方程為x=my+，與拋物線方程聯解利用根與系數的關系算出x₁+x₂=am²+，結合拋物線的定義得到|AB|=a（m²+1）=．利用解三角形算出O到AB的距離d=，從而算出S_△AOB=•|AB|•d=．
解答：解：∵拋物線y²=ax（a＞0）的焦點坐標為F（，0）
∴設直線AB的方程為x=my+，（m是斜率tanθ的倒數）
代入y²=ax，可得y²-amy-=0
∴y₁+y₂=am，y₁y₂=-，
可得y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=a²m²+，
∵y₁²+y₂²=a（x₁+x₂），∴x₁+x₂=am²+，
∴焦點弦|AB|=x₁+x₂+=am²+a=a（m²+1），
∵m²+1=+1=
∴|AB|=am²+a=
∵∠OFB=θ，得O到AB的距離d=|OF|sinθ=
∴S_△AOB=•|AB|•d=••=
故答案為：
點評：本題給出拋物線焦點弦的傾角，求焦點弦與原點構成三角形的面積，著重考查了拋物線的標準方程與簡單幾何性質、三角函數化簡和三角形面積公式等知識，屬于中檔題．