Question

20．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的左．右焦點，且|F₁F₂|=2，若P是該雙曲線右支上的一點，且滿足|PF₁|=2|PF₂|，則△PF₁F₂面積的最大值是（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 利用雙曲線的定義求得|PF₁|，作PF₁邊上的高AF₂，設|AP|=x，|AF₁|=4a-x，進而利用勾股定理求得x，AF₂，運用二次函數(shù)的配方，可得△PF₁F₂的面積的最大值．

解答 解：由題意可得2c=|F₁F₂|=2，
由雙曲線的定義可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，
由|PF₁|=2|PF₂|，可得|PF₂|=2a，|PF₁|=4a，
過F₂作AF₂⊥PF₁，垂足為A，
設|AP|=x，|AF₁|=4a-x，
由勾股定理可得|AF₂|=$\sqrt{4{a}^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{4-（4a-x）^{2}}$，
解得x=$\frac{5{a}^{2}-1}{2a}$，
即有△PF₁F₂面積為$\frac{1}{2}$|AF₂|•|PF₁|=$\frac{1}{2}$（4a）•$\sqrt{4{a}^{2}-（\frac{5{a}^{2}-1}{2a}）^{2}}$
=$\sqrt{16{a}^{4}-（25{a}^{4}-10{a}^{2}+1）}$=$\sqrt{-9（{a}^{2}-\frac{5}{9}）^{2}+\frac{16}{9}}$≤$\frac{4}{3}$，
當且僅當a²=$\frac{5}{9}$，即a=$\frac{\sqrt{5}}{3}$時，取得等號．
則△PF₁F₂面積的最大值是$\frac{4}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線方程的定義和方程及性質，考查三角形面積的最值的求法，注意運用勾股定理和二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．