Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）；
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）利用指數(shù)函數(shù)，可得函數(shù)的定義域；
（2）利用函數(shù)的奇偶性的定義，可得結(jié)論；
（3）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為R；
（2）f（-x）=$\frac{1}{2}$（2^-x+2^x）=f（x），∴函數(shù)是偶函數(shù)；
（3）∵f（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x），
∴f′（x）=$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x）•ln2
∴x＞0，f′（x）＞0；x＜0，f′（x）＜0．
∴函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，0）上單調(diào)遞減．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．