Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一點P可向圓x²+y²=（

b

2

）²作切線PA，PB，若存在點P使得

PA

•

PB

=0，則雙曲線的離心率的取值范圍是（　　）

• A、[

  3

  ，+∞）
• B、（1，

  3

  ]
• C、[

  3

  ，

  5

  ）
• D、（1，

  5

  ）

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一點P可向圓x²+y²=（

b

2

）²作切線PA，PB，可得a＞

b

2

；存在點P使得

PA

•

PB

=0，可得

2

b≥a，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由題意，∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一點P可向圓x²+y²=（

b

2

）²作切線PA，PB，
∴a＞

b

2

，
∴4a²＞b²，
∴5a²＞c²，
∴e＜

5

，
∴存在點P使得

PA

•

PB

=0，
∴

2

b≥a，
∴e≥

3

．
故選：C．

點評：本小題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的標準方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．