【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，已知橢圓
：
的離心率為
，且過點
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點
，點
在
軸上，過點的直線交橢圓交于
，
兩點．
①若直線
的斜率為
，且
，求點的坐標(biāo)；
②設(shè)直線
，
，
的斜率分別為
，
，
，是否存在定點，使得
恒成立？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）①
②存在，
；
【解析】
（1）根據(jù)橢圓離心率及過點，建立
方程組，求解即可（2）①設(shè)直線
的方程為：
,聯(lián)立橢圓方程，利用弦長公式即可求出m,得到點
的坐標(biāo)②直線分斜率為0與不為0兩種情況討論，斜率為0時易得存在，斜率不為0時，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用
恒成立，可化簡知存在定點.
（1）∵橢圓
：
的離心率為
，且過點
．
∴
，
，
∴橢圓的方程為：．
（2）設(shè)
，
，
①設(shè)直線的方程為：．
．
．
，
．
，解得
.
∴．
②當(dāng)直線的斜率為0時，
，
，
.
由可得
，解得
，即.
當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為
．
由
.
，
．
由可得
，
，
.
.
，
∴當(dāng)時，上式恒成立，
存在定點，使得恒成立．
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浙江之星學(xué)業(yè)水平測試系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2018年9月，臺風(fēng)“山竹”在我國多個省市登陸，造成直接經(jīng)濟損失達52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個農(nóng)戶在該次臺風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成五組：
，
，
，
，
（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）試根據(jù)頻率分布直方圖估計該地區(qū)每個農(nóng)戶的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；
（2）臺風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣l(fā)出倡議，為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶，現(xiàn)從這50戶并且損失超過4000元的農(nóng)戶中隨機抽取2戶進行重點幫扶，設(shè)抽出損失超過8000元的農(nóng)戶數(shù)為
，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某城市的公交公司為了方便市民出行，科學(xué)規(guī)劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設(shè)一個起點站，為了研究車輛發(fā)車間隔時間
與乘客等候人數(shù)
之間的關(guān)系，經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：
間隔時間（ | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
等候人數(shù)（ | 23 | 25 | 26 | 29 | 28 | 31 |
調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.檢驗方法如下：先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應(yīng)的等候人數(shù)
，再求與實際等候人數(shù)的差，若差值的絕對值不超過1，則稱所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.
（1）若選取的是后面4組數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程
；
（2）判斷（1）中的方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”；
（3）為了使等候的乘客不超過35人，試用（1）中方程估計間隔時間最多可以設(shè)置為多少（精確到整數(shù)）分鐘？
附：對于一組數(shù)據(jù)
，
，…，
，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2017年“十一”期間，高速公路車輛較多．某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速（
）分成六段： 
， 
， 
， 
， 
， 
，后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值；
（2）若從車速在
的車輛中任抽取2輛，求車速在的車輛恰有一輛的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角梯形
中，
，
，
，
為
的中點，如圖
將
沿
折到
的位置，使
，點
在
上，且
，如圖2．
求證：
平面
；
求二面角
的正切值；
在線段
上是否存在點
，使
平面
？若存在，確定的位置，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝1，點M是棱PC上的一點，且AM⊥PB．
（1）求三棱錐C﹣PBD的體積；
（2）證明：AM⊥平面PBD．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】下列選項正確的為（ ）
A.已知直線
：
，
：
，則
的充分不必要條件是
B.命題“若數(shù)列
為等比數(shù)列，則數(shù)列
為等比數(shù)列”是假命題
C.棱長為
正方體
中，平面
與平面
距離為
D.已知
為拋物線
上任意一點且
，若
恒成立，則
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
的離心率為
，且過點
．
求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
設(shè)直線l經(jīng)過點
且與橢圓C交于不同的兩點M，N試問：在x軸上是否存在點Q，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值？若存在，求出點Q的坐標(biāo)及定值，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓O上運動，若△PAB面積的最大值為
，橢圓O的離心率為
．
(1)求橢圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過B點作圓E：
的兩條切線，分別與橢圓O交于兩點C，D(異于點B)，當(dāng)r變化時，直線CD是否恒過某定點?若是，求出該定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由.
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