Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x+c（x∈[0，1]）
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）求證：對任意x₁，x₂∈[0，1]，總有；
（3）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，1]上有零點，求實數(shù)C的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）圖象的對稱軸為，且開口向上，
∴f（x）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)
∴f（x）_max=f（0）=f（1）=c．
．
（2）對任意x₁，x₂∈[0，1]，總有，
即．
（3）因為函數(shù)f（x）的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為，
函數(shù)y=f（x）在[0，1]上有零點，其圖象如圖，

則，即
解得
所以所求實數(shù)c的取值范圍是．
分析：（1）給出的二次函數(shù)的對稱軸是x=，圖象開口向上，因此，在[0，1]上，當(dāng)x=0和x=1時對應(yīng)的函數(shù)值相等且最大，頂點處的函數(shù)值最小；
（2）因為x₁，x₂是[0，1]內(nèi)的任意兩個值，它們對應(yīng)的函數(shù)值的絕對值的差一定小于等于函數(shù)在[0，1]內(nèi)的最大值與最小值的差；
（3）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，1]上有零點，說明其頂點在x軸上或其下方，又因為圖象開口向上，還要保證圖象與x軸的交點在區(qū)間[0，1]上，由此列式可求實數(shù)c的范圍．
點評：本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)在某一閉區(qū)間上任意兩點函數(shù)值的差的絕對值，一定小于等于該區(qū)間上的最大值與最小值的差，訓(xùn)練了利用“三個二次”結(jié)合處理函數(shù)在給定區(qū)間上的零點問題，此題是中檔題．