Question

雙曲線的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，過雙曲線右焦點且斜率為的直線交雙曲線于P、Q兩點．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求雙曲線的方程．

Answer 1

解答見解析．

解析:

本小題考查雙曲線性質(zhì)，兩點距離公式，兩直線垂直條件，代數(shù)二次方程等基本知識，以及綜合分析能力．滿分12分．

解法一：設(shè)雙曲線的方程為=1．

依題意知，點P，Q的坐標(biāo)滿足方程組

① ②

 

將②式代入①式，整理得(5b²－3a²)x²+6a²cx－(3a²c²+5a²b²)=0．    ③    ——3分

設(shè)方程③的兩個根為x₁，x₂，若5b²－3a²=0，則=，即直線②與雙曲線①的兩條漸近線中的一條平行，故與雙曲線只能有一個交點同，與題設(shè)矛盾，所以5b²－3a²≠0．

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有

             ④

         ⑤                               ——6分

由于P、Q在直線y=(x－c)上，可記為P (x₁，(x₁－c))，Q (x₂，(x₂－c))．

由OP⊥OQ得·=－1，

整理得3c(x₁+x₂)－8x₁x₂－3c²=0．          ⑥

將④，⑤式及c²=a²+b²代入⑥式，并整理得3a⁴+8a²b²－3b⁴=0，即(a²+3b²)(3a²－b²)=0．

因為         a²+3b²≠0，解得b²=3a²，所以    c==2a．          ——8分

由|PQ|=4，得(x₂－x₁)²=[(x₂－c)－(x₁－c)]²=4²．

整理得(x₁+x₂)²－4x₁x₂－10=0．    ⑦

將④，⑤式及b²=3a²，c=2a代入⑦式，解得a²=1．                      ——10分

將a² =1代入b²=3a² 得     b²=3．

故所求雙曲線方程為x²－=1．                                    ——12分

解法二：④式以上同解法一．                                       ——4分

解方程③得x₁=，x₂=    ④         ——6分

由于P、Q在直線y=(x－c)上，可記為P (x₁，(x₁－c))，Q (x₂，(x₂－c))．

由OP⊥OQ，得x₁ x₂＋(x₁－c)·(x₂－c)=0．      ⑤

將④式及c²=a²b²代入⑤式并整理得     3a⁴+8a²b²－3b⁴=0，

即   (a²+3b²)(3a²－b²)=0．因a²+3b²≠0，解得b²=3a²．             ——8分

由|PQ|=4，得(x₂－x₁)²+[(x₂－c)－(x₁－c)]²=4²．

即     (x²－x¹)2=10．         ⑥

將④式代入⑥式并整理得(5b²－3a²)²－16a²b⁴=0．                ——10分

將b²=3a²代入上式，得a²=1，將a²=1代入b²=3a²得b²=3．

故所求雙曲線方程為x²－=1．              ——12分