Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面A₁ABB₁和BCC₁B₁是兩個(gè)全等的正方形，AC₁⊥平面A₁DB，D為AC的中點(diǎn)．
(Ⅰ)求證：平面A₁ABB⊥平面BCC₁B₁；
(Ⅱ)求證：B₁C∥平面A₁DB；
(Ⅲ)設(shè)E是CC₁上一點(diǎn)，試確定點(diǎn)E的位置，使平面A₁DB⊥平面BDE，并說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)解法一：∵AC1⊥平面A1DB，A1B平面A1DB， ∴AC1⊥A1B， 又在正方形A1ABB1中，A1B⊥AB1，AC1∩AB1=A， ∴A1B⊥面AC1B1， 又B1C1面AC1B1， ∴ A1B⊥B1C1，  又在正方形BCC1B1中有，B1C1⊥BB1， 又BB1∩A1B=B， ∴B1C1⊥平面A1ABB1，B1C1平面B1BCC1， ∴平面A1ABB1⊥平面BCC1B1。 解法二：由已知可知三棱柱是直三棱柱， ∴四邊形A1ACC1為矩形， 又AC1⊥平面A1DB，A1D平面A1DB， ∴AC1⊥A1D， 又D為AC的中點(diǎn)， ∴由平面幾何知識(shí)可知，△A1AD~△ACC1， ∴AA1：AD=AC：CC1，AC2= AA1·CC1=AB2， ∴AC=AB， ∴AB⊥BC， 又BC⊥BB1且BB1∩AB=B， ∴BC⊥平面A1ABB1，BC平面BCC1B1， ∴平面A1ABB1⊥平面BCC1B1。
(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知BC，BB1，BA兩兩垂直， 如圖以B為原點(diǎn)，BC，BB1，BA分別為x，y，z軸， 建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz， 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則 ， ， 由AC1⊥平面A1DB，得平面A1DB的法向量為， ∵， ∴， 又平面A1DB， ∴平面A1DB。 解法二：連接AB1交A1B于點(diǎn)O，連接OD， ∴O為AB1中點(diǎn)，又D為AC中點(diǎn)， ∴在△ACB1中，OD// CB1，  ∵CB1平面A1DB1，OD平面A1DB， ∴B1C∥平面A1BD。
(Ⅲ)解法一：設(shè)點(diǎn)E(1，b，0)，平面BDE的法向量為m=(x，y，z)， 則有， 得， 令y=l，則m=(-b，1，b)， 由m·n=(1，1，-1)·(-b，1，b)=0，得b=， 即當(dāng)E為CC1中點(diǎn)時(shí)，平面A1BD⊥平面BDE。 解法二：取CC1中點(diǎn)E， D為AC中點(diǎn)， 在△ACC1中， ∴DE∥AC1， 又AC1⊥平面A1DB，  ∴DE⊥平面A1DB，DE平面BDE， ∴平面A1DB⊥平面BDE， 即當(dāng)E為CC1中點(diǎn)時(shí)，平面A1DB⊥平面BDE。