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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知f(x)=cos2x-sinx(sinx-2
3
cosx)，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若f(x)=
8
5
，且x∈[
π
4
，
π
2
]，求sin2x的值．
分析：（1）利用二倍角公式和兩角和差的正弦公式化簡函數的解析式為 2sin（2x+
π
6
），由最小正周期 T=
2π
ω
 求出結果．
（2）由題意可得sin（2x+
π
6
）=
4
5
，再由x∈[
π
4
，
π
2
]，可得cos（2x+
π
6
）=-
3
5
，根據sin2x=sin[（2x+
π
6
）-
π
6
]，利用兩角差的正弦公式求出結果．
解答：解：（1）∵f(x)=cos2x-sinx(sinx-2
3
cosx)=cos2x-sin2x+2
3
sinxcosx=cos2x+
3
sin2x=2sin（2x+
π
6
），
故函數的最小正周期 T=
2π
ω
=π．
（2）∵f(x)=
8
5
，且x∈[
π
4
，
π
2
]，∴sin（2x+
π
6
）=
4
5
．  又x∈[
π
4
，
π
2
]，∴cos（2x+
π
6
）=-
3
5
．
∴sin2x=sin[（2x+
π
6
）-
π
6
]=sin（2x+
π
6
） cos
π
6
-cos（2x+
π
6
） sin
π
6
=
4
3
+3
10
．
點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式，三角函數的周期性及求法，二倍角公式的應用，化簡函數的解析式為 2sin（2x+
π
6
），是解題的突破口．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=cos(ωx+
π
3
)，(ω＞0)的圖象與y=1的圖象的兩相鄰交點間的距離為π，要得到y(tǒng)=f（x）的圖象，只須把y=sinωx的圖象（　�。�
A、向左平移
5
12
π個單位
B、向右平移
5
12
π個單位
C、向左平移
11
12
π個單位
D、向右平移
11
12
π個單位

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
cos(πx)           x≤0 
f(x-1)+1     x＞0
，則f(
4
3
)+f(-
4
3
)的值為（　�。�
A、-2B、-1C、1D、2

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
-cosπx      x＞0
f(x+1)+1  x≤0
，則f（
4
3
）+f（-
3
4
）的值等于
3-
2
2
3-
2
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=(
cosα
sinβ
)x+(
cosβ
sinα
)x (x＞0)，α，  β∈(0，  
π
2
)，若f（x）＜2，則（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
cosπx(x＜1)
f(x-1)-1(x＞1)
則f(
1
3
)+f(
4
3
)=
0
0
．

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