Question

（本小題滿分12分）在幾何體ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F(xiàn)是BC的中點，AB=AC=BE=2，CD=1

（Ⅰ）求證：DC∥平面ABE；

（Ⅱ）求證：AF⊥平面BCDE；

（Ⅲ）求證：平面AFD⊥平面AFE．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 先證DC//EB，再推出DC∥平面ABE；

(Ⅱ)證DC⊥AF，進一步AF⊥平面BCDE。

(Ⅲ)由(2)推出AF⊥EF，在直角梯形BCDE中，計算DF=,EF=,DE=

證明EF⊥平面AFD，推出平面AFD⊥平面AFE．

【解析】

試題分析：(Ⅰ) ∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC

∴DC//EB，

又∵DC平面ABE，EB平面ABE，

∴DC∥平面ABE………………………………………………（4分）

(Ⅱ)∵DC⊥平面ABC，

∴DC⊥AF，

又∵AF⊥BC，DC交BC于C

∴AF⊥平面BCDE……………………………………（8分）

(Ⅲ)由(2)知AF⊥平面BCDE，

∴AF⊥EF，在直角梯形BCDE中，計算DF=,EF=,DE=

在三角形DEF中DF⊥EF，AF⊥EF，DF交AF于F

∴EF⊥平面AFD，又EF平面AFE，

∴平面AFD⊥平面AFE．…………………………………………（12分）

考點：本題主要考查立體幾何中線面平行與垂直的證明。

點評：典型題，立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明及角的計算問題是高考中的必考題，本題難度不大，注意牢記定理巧妙地實現(xiàn)線線關(guān)系、線面關(guān)系及面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化。