Question

11．點P（a，b）在直線x+y+1=0上，則$\sqrt{{a^2}+{b^2}-2a-2b+2}$的最小值$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用配方得到$\sqrt{{a^2}+{b^2}-2a-2b+2}$=$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$，根據(jù)兩點間的距離公式將根式進行轉化，結合點到直線的距離公式進行求解即可．

解答 解：$\sqrt{{a^2}+{b^2}-2a-2b+2}$=$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$，
設A（1，1），則$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$=|PA|，
則當PA垂直直線x+y+1=0時，PA取得最小值，
則此時A到直線的距離d=$\frac{|1+1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
即$\sqrt{{a^2}+{b^2}-2a-2b+2}$的最小值是$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
故答案為：$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$

點評 本題主要考查兩點間距離的應用，利用配方法將根式進行轉化是解決本題的關鍵．