Question

13．已知函數(shù)f（x）=mx²+2x-1有且僅有一個正實數(shù)的零點，則實數(shù)m的取值范圍是{-1}∪[0，+∞）．

Answer 1

分析 討論函數(shù)的類型，開口方向，根與系數(shù)的關(guān)系．

解答 解：（1）當m=0時，f（x）=2x-1，f（x）的零點為x=$\frac{1}{2}$＞0，符合題意．
（2）當m＞0時，f（x）圖象開口向上，對稱軸為x=-$\frac{1}{m}$＜0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（x）在（0，+∞）上有且僅有一個正實數(shù)零點．
∴f（0）＜0，
即-1＜0，恒成立．
（3）當m＜0時，f（x）圖象開口向下，對稱軸為x=-$\frac{1}{m}$＞0，
①若△=0，即4+4m=0，解得m=-1，則-$\frac{2}{2m}$＞0，恒成立．
②若△＞0，即4+4m＞0，解得m＞-1，則f（x）=0有兩根，設(shè)為x₁，x₂，
則x₁•x₂=$-\frac{1}{m}$＞0，與f（x）=mx²+2x-1有且僅有一個正實數(shù)的零點矛盾．
綜上所述：m的取值范圍是{-1}∪[0，+∞）．
故答案為{-1}∪[0，+∞）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的根的個數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，是中檔題．