Question

（22）（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，求的最小值；

（Ⅱ）設(shè)正數(shù)滿足，證明       _.

Answer 1

(22)（Ⅰ）解：對函數(shù)f(x)求導(dǎo)數(shù)：

f′(x)=(xlog₂x) ′+[(1－x)log₂(1－x)] ′

=log₂x－ log₂(1－x)+

= log₂x－ log₂(1－x).

于是f′（）=0.

當(dāng)x<時(shí)，f′(x)=log₂x－log₂(1－x)<0,f(x)在區(qū)間（0,）是減函數(shù)，

當(dāng)x>時(shí)，f′(x)=log₂x－log₂(1－x)>0, f(x)在區(qū)間（,1）是增函數(shù)。

所以f（x）在x=時(shí)取得最小值，f()=-1.

(Ⅱ)證法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明。

（i）當(dāng)n=1時(shí)，由（Ⅰ）知命題成立。

(ii)假定當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù)p₁,p₂,…,滿足p₁+p₂+…+=1,則

p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+…+log₂≥－k.

當(dāng)n=k+1時(shí)，若正數(shù)p₁,p₂,…,滿足p₁+p₂+…+=1,令

x=p₁+p₂+…+,q₁=q₂=…,=

則q₁,q₂,…,為正數(shù)，且q₁+q₂+…+=1.

由歸納假定知q₁log₂q₁+q₂log₂q₂+…+log₂≥－k.

p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+…+log₂

=x(q₁log₂q₁+q₂log₂q₂+…+log₂+log₂x)≥x(－k)+xlog₂x,                         ①

同理，由++…+=1－x,可得

log₂+…+log₂≥(1－x)(－k)+(1－x)log₂(1－x).   ②

綜合①、②兩式

p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+…+log₂

≥[x+(1－x)](－k)+xlog₂x+(1－x)log₂(1－x)

≥－(k+1).

即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

根據(jù)（i）、(ii)可知對一切正整數(shù)n命題成立。

證法二：

令函數(shù)g(x)=xlog₂x+(c－x)log₂(c－x)(常數(shù)c>0,x∈（0，c）),那么

g(x)=c[log₂+(1－)log₂(1－)+log₂c],

利用（Ⅰ）知，當(dāng)=（即x=）時(shí)，函數(shù)g(x)取得最小值。

于是對任意x₁>0,x₂>0,都有

x₁log₂x₁+x₂log₂x₂≥2·log₂=(x₁+x₂)[log₂(x₁+x₂)-1]   ①

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.

(i)                  當(dāng)n=1時(shí)，由（Ⅰ）知命題成立。

(ii)                設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù)p₁,p₂,…滿足p₁+p₂+…+=1,有p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+…+log₂≥－k

當(dāng)n=k+1時(shí)，p₁,p₂,…滿足p₁+p₂+…+=1.

令H=p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+…+log₂+log₂,由①得到

H≥(p₁+p₂)[log₂(p₁+p₂)-1]+…+(+)[log₂(+)-1],

因?yàn)椋╬₁+p₂）+…+(+)=1,

由歸納法假設(shè)

（p₁+p₂）log₂(p₁+p₂)+…+(+)log₂(+)≥－k,得到

H≥-k-(p₁+p₂+…++)=－(k+1).

即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

所以對一切正整數(shù)n命題成立