Question

16．已知直線l：（m-2）x-y-3m+5=0（m∈R）和圓C：x²+y²-8x+4y+16=0．
（1）若m∈[1，2]，求直線l的傾斜角的取值范圍；
（2）設(shè)直線l和圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求以AB為直徑且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出對(duì)應(yīng)的m值；
（3）直線l能否將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為$\frac{1}{2}$的兩段圓��？如果能，請(qǐng)求出直線l的方程；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出直線的斜率，利用m∈[1，2]，得到斜率的范圍，即可求直線l的傾斜角的取值范圍；
（2）確定直線過(guò)定點(diǎn)P，以AB為直徑且面積最小的圓，AB⊥PC，所求圓的圓心為P（3，1），即可求以AB為直徑且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出對(duì)應(yīng)的m值；
（3）直線l能否將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為$\frac{1}{2}$的兩段圓弧，利用直線與圓相交，注意半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）直線l的斜率k=m-2，
∵m∈[1，2]，
∴k∈[-1，0]，
∴直線l的傾斜角的取值范圍為{0}∪[$\frac{3π}{4}$，π）；
（2）直線l：（m-2）x-y-3m+5=0得m（x-3）-（2x+y-5）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-3=0}\\{2x+y-5=0}\end{array}\right.$，∴x=3，y=-1，
∴直線l過(guò)定點(diǎn)P（3，-1），
∴PC=$\sqrt{（3-4）^{2}+（-1+2）^{2}}$=$\sqrt{2}$＜2，
∴P在圓C的內(nèi)部，
∴以AB為直徑且面積最小的圓，AB⊥PC，所求圓的圓心為P（3，1），
∵AB=2$\sqrt{{r}^{2}-P{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴所求圓的方程為（x-3）²+（y+1）²=2，
∵k_PC=-1，∴k_l=m-2=1，
∴m=3；
（3）圓C的圓心為C（4，-2），半徑r=2；
假設(shè)直線l能否將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為$\frac{1}{2}$的兩段圓弧，則其中劣弧所對(duì)的圓心角為120°，
∵圓C的半徑r=2，
∴圓心C到直線l的距離d=$\frac{|4（m-2）+2-3m+5|}{\sqrt{（m-2）^{2}+1}}$=1，
∴m=2，
∴直線l能將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為$\frac{1}{2}$的兩段圓弧，且直線l的方程為y=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．