Question

已知函數(shù)

(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)求函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；

(3)若存在，使得是自然對數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2) 單調(diào)增區(qū)間為 (3)

【解析】

試題分析：⑴因?yàn)楹瘮?shù)，

所以，，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013062611191563814744/SYS201306261120058256907960_DA.files/image007.png">，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．

⑵由⑴，．

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，總有在上是增函數(shù)，

又，所以不等式的解集為，

故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．

⑶因?yàn)榇嬖?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013062611191563814744/SYS201306261120058256907960_DA.files/image015.png">，使得成立，

而當(dāng)時(shí)，，

所以只要即可．

又因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013062611191563814744/SYS201306261120058256907960_DA.files/image020.png">，的變化情況如下表所示：

	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

 

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的最小值，的最大值為和中的最大值．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013062611191563814744/SYS201306261120058256907960_DA.files/image037.png">，

令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013062611191563814744/SYS201306261120058256907960_DA.files/image039.png">，

所以在上是增函數(shù)．

而，故當(dāng)時(shí)，，即；

當(dāng)時(shí)，，即．

所以，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上是增函數(shù)，解得；當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上是減函數(shù)，解得．

綜上可知，所求的取值范圍為．

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性最值

點(diǎn)評：第一問主要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)處的切線斜率；第二問求單調(diào)增區(qū)間主要是通過導(dǎo)數(shù)大于零；第三問的不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，這是函數(shù)題經(jīng)常用到的轉(zhuǎn)化方法，本題第三問有一定的難度