Question

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為(,0).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若直線l:y=kx+2與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且·＞2(其中O為原點)，求k的取值范圍.

Answer 1

思路分析：由C與l恒有兩個不同的交點，求出k²＜0且k²≠,再由·＞2，即可求得最后k的范圍.

解：(1)設雙曲線方程為

    -=1(a＞0,b＞0).

    由已知得a=,c=2,再由a²+b²=2²,得b²=1.

    故雙曲線C的方程為-y²=1.

    (2)將y=kx+代入-y²=1，得

    (1-3k²)x²-6kx-9=0.

    由直線l與雙曲線交于不同的兩點得

   

    即k²≠且k²＜1.                         ①

    設A(x_A,y_B),B(x_B,y_B),則

      x_A+x_B=,x_Ax_B=,

    由·＞2,得x_Ax_B+y_Ay_B＞2,而

x_Ax_B+y_Ay_B=x_Ax_B+(kx_A+2)(kx_B+2)

    =(k²+1)x_Ax_B+2k(x_A+x_B)+2

    =(k²+1)+2k+2

    =.

    于是＞2,即＞0.

    解此不等式得＜k²＜3.                    ②

    由①②得＜k²＜1,故k的取值范圍是(-1,-)∪(,1).