Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA=PC．
（Ⅰ）求證：平面APB⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）過P作PO⊥AB，垂足為O，連結(jié)OC．設(shè)AB=2，在△AOC中，根據(jù)余弦定理算出，從而得出PO²+OC²=4=PC²，證出PO⊥OC，結(jié)合線面垂直判定定理得到PO⊥平面ABC，再由PO?平面APB，證出平面APB⊥平面ABC；
（II）以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB、OP所在直線為y軸、z軸，建立如圖所示的空間直線坐標(biāo)系，可得A、C、P各點的坐標(biāo)，從而得到的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組是平面APC的一個法向量．再由平面APB的向量為=（1，0，0），算出夾角的余弦值等于，即可得到二面角B-AP-C的余弦值．
解答：解（Ⅰ）過P作PO⊥AB，垂足為O，連結(jié)OC．
設(shè)AB=2，則，
在△AOC中，，
由余弦定理得．
在△POC中，，
∴PO²+OC²=4=PC²，∴可得∠POC=90°，即PO⊥OC．
又∵PO⊥AB，且AB∩OC=O，∴PO⊥平面ABC
∵PO?平面APB，∴平面APB⊥平面ABC．
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB、OP所在直線為y軸、z軸，建立如圖所示的空間直線坐標(biāo)系，
則可得．
∴，
設(shè)平面APC的一個法向量為=（x₁，y₁，z₁），則，即

令x₁=1，得y₁=-，z₁=1，可得．
而平面APB的一個法向量為=（1，0，0），設(shè)二面角B-AP-C的平面角為α，且α為銳角，
∴．
由此可得二面角B-AP-C的余弦值為．
點評：本題在三棱錐中證明面面垂直，并且求二面角B-AP-C的余弦值．著重考查了線面垂直、面面垂直的判定定理和利用空間向量研究平面與平面所成角的大小的方法，屬于中檔題．