Question

已知函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（3）判斷f（x）在的單調(diào)性，并用定義證明．
（4）求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

（1）解：要使函數(shù)有意義，應(yīng)滿足＞0，
即（1-x）（x+1）＞0，
解得：-1＜x＜1，∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）．
（2）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
證明：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
且=，
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（3）函數(shù)f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．
證明：設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則
=．
因?yàn)?1＜x₁＜x₂＜1，
所以1-x₁＞1-x₂＞0；1+x₂＞1+x₁＞0
所以，
所以，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
f（x₁）＜f（x₂）．
所以，函數(shù)f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．
（4）要使，
則有，
∴，
∴，
∴x（x-1）＜0，解得：0＜x＜1，
∴使f（x）＞0的x的取值范圍為（0，1）．
分析：（1）直接由對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0解分式不等式得函數(shù)的定義域；
（2）運(yùn)用奇函數(shù)的定義，結(jié)合對(duì)數(shù)式的性質(zhì)進(jìn)行判斷；
（3）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，在作差后注意判斷差式的真數(shù)與1的大小關(guān)系；
（4）把對(duì)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為分式不等式求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，考查了分式不等式的解法，求解分式不等式時(shí)，要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化，此題是中檔題．