Question

4．設函數f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{πx}{m}$，函數f（x）的對稱軸為x=x₀，若存在x₀滿足${x}_{0}^{2}$+[f（x₀）]²＜m²，則m的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-6）∪（6，+∞）
• B． （-∞，-4）∪（4，+∞）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由正弦函數的對稱軸，可得x₀=km+$\frac{1}{2}$m，f（x₀）=±$\sqrt{3}$，代入不等式，化為m²（k+$\frac{3}{2}$）（$\frac{1}{2}$-k）＞3，求得k的范圍，取整數k=-1，0，代入不等式，解不等式可得m的范圍．

解答 解：由函數f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{πx}{m}$，函數f（x）的對稱軸為x=x₀，
可得$\frac{π{x}_{0}}{m}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即有x₀=km+$\frac{1}{2}$m，f（x₀）=±$\sqrt{3}$，
則存在x₀滿足${x}_{0}^{2}$+[f（x₀）]²＜m²，
即為（km+$\frac{1}{2}$m）²+3＜m²，
化為m²（k+$\frac{3}{2}$）（$\frac{1}{2}$-k）＞3，
由（k+$\frac{3}{2}$）（$\frac{1}{2}$-k）＞0，可得
-$\frac{3}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$，即有整數k=-1，0，
當k=-1，0時，$\frac{3}{4}$m²＞3，
解得m＞2或m＜-2．
故選：C．

點評 本題考查存在性問題的解法，考查正弦函數的對稱性和最值，同時考查二次不等式的解法，屬于中檔題．