Question

已知函數(shù)的切線方程為.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)，求證：上恒成立；

（3）已知.

 

Answer 1

（1）；（2）由已知得在上恒成立，

化簡(jiǎn)，即在上恒成立.

設(shè)，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020906042674746972/SYS201502090604357477275190_DA/SYS201502090604357477275190_DA.008.png">，所以，即，

所以在上單調(diào)遞增，，所以在上恒成立 .

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020906042674746972/SYS201502090604357477275190_DA/SYS201502090604357477275190_DA.015.png">，所以，由（2）知有，

整理得，所以當(dāng)時(shí)，.

【解析】

試題分析：（1）首先將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，即可求出；然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式可得；再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，即；最后聯(lián)立方程組即可求出參數(shù)的值，并寫(xiě)出函數(shù)的解析式即可；

（2）將不等式整理得出，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后記，并求出，得出時(shí)，可知在上單調(diào)遞增，從而求出的最小值即可得出結(jié)果.

試題解析：（1）將代入切線方程得， ∴，

化簡(jiǎn)得.，，

解得：.∴.

（2）由已知得在上恒成立，

化簡(jiǎn)，即在上恒成立.

設(shè)，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020906042674746972/SYS201502090604357477275190_DA/SYS201502090604357477275190_DA.008.png"> ，所以，即，

所以在上單調(diào)遞增，，所以在上恒成立 .

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020906042674746972/SYS201502090604357477275190_DA/SYS201502090604357477275190_DA.015.png">，所以，由（2）知有，

整理得，所以當(dāng)時(shí)，.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)恒成立問(wèn)題.