Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F（$\sqrt{2}$，0）其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為$\sqrt{3}$
（1）求橢圓C的；離心率及其標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）點(diǎn)P（x₀，y₀）是圓G：x²+y²=4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的切線l₁，l₂交圓G于點(diǎn)M，N，求證：線段MN的長(zhǎng)為定值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F（$\sqrt{2}$，0）其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為$\sqrt{3}$，求出c，a，可得b，即可求橢圓C的離心率及其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）分類討論：l₁，l₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x₀，y₀），又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M，N，無(wú)論兩條直線中的斜率是否存在，都有l(wèi)₁，l₂垂直．即可得出線段MN為準(zhǔn)圓x²+y²=4的直徑．

解答 解：（1）由題意，a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，
∴b=1，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：①當(dāng)直線l₁，l₂中有一條斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線l₁斜率不存在，
則l₁：x=±$\sqrt{3}$，
當(dāng)l₁：x=$\sqrt{3}$時(shí)，l₁與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)（$\sqrt{3}$，1），（$\sqrt{3}$，-1），
此時(shí)l₂為y=1（或y=-1），顯然直線l₁，l₂垂直；
同理可證當(dāng)l₁：x=-$\sqrt{3}$時(shí)，直線l₁，l₂垂直．
②當(dāng)l₁，l₂斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=4．
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x₀，y₀）與橢圓相切的直線為y=t（x-x₀）+y₀，
代入橢圓方程得（1+3t²）x²+6t（y₀-tx₀）x+3（y₀-tx₀）²-3=0．
由△=0化簡(jiǎn)整理得（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+1-y₀²=0，
∵x₀²+y₀²=4，∴有（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+x₀²-3=0．
設(shè)l₁，l₂的斜率分別為t₁，t₂，
∵l₁，l₂與橢圓相切，
∴t₁，t₂滿足上述方程（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+x₀²-3=0．，
∴t₁•t₂=-1，即l₁，l₂垂直．
綜合①②知：∵l₁，l₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x₀，y₀），又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M，N，且l₁，l₂垂直．
∴線段MN為準(zhǔn)圓x²+y²=4的直徑，|MN|=4，
∴線段MN的長(zhǎng)為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、新定義、直線與橢圓相切?△=0、直線垂直與斜率的關(guān)系、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．