Question

求（x+-1）⁵展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

Answer 1

解法一:∵（x+-1）⁵=［(x+)-1］⁵，

∴通項(xiàng)為T_r+1=(x+)^5-r(-1)^r(0≤r≤5).

當(dāng)r=5時(shí)，T₆=(-1)⁵=-1；

當(dāng)0≤r＜5時(shí)，(x+)^5-r的通項(xiàng)為

T_k+1^‘=x^5-r-k()^k=x^5-r-2k(0≤k≤5-r).

∵0≤r＜5且r∈Z，

∴r只能取1或3，相應(yīng)的k值分別為2或1.

∴常數(shù)項(xiàng)為(-1)+(-1)³+(-1)=-51.

解法二:由于本題只有5次，也可以直接展開(kāi)，即

［(x+)-1］⁵=(x+)⁵-5(x+)⁴+10(x+)³-10(x+)²+5(x+)-1.

由x+的對(duì)稱性知只有在x+的偶數(shù)次冪中的展開(kāi)式中才會(huì)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)且是各自的中間項(xiàng)，

∴常數(shù)項(xiàng)為-5-10-1=-51.

解法三:(x+-1)⁵=(x+-1)(x+-1)(x+-1)(x+-1)(x+-1).

按多項(xiàng)式乘法的規(guī)律，常數(shù)可從五個(gè)因式中都選取-1相乘為(-1)⁵；

或從五個(gè)因式中選定一因式取x，一因式取，

另三個(gè)因式中取(-1)，為(-1)³;

或從五個(gè)因式某兩因式中取x，

另兩因式中取，余下一個(gè)因式中取-1，

得式為(-1).

所以常數(shù)項(xiàng)為(-1)⁵+(-1)³+(-1)=-51.