Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-x
（1）求函數(shù)g（x）=f（x）-x-2的圖象在x=1處的切線方程
（2）證明：$|{f（x）}|＞\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$
（3）設(shè)m＞n＞0，比較$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}+1$與$\frac{m}{{{m^2}+{n^2}}}$的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求函數(shù)g（x）=f（x）-x-2的圖象在x=1處的切線方程；
（2）確定f（x）_max=f（1）=ln1-1=-1，|f（x）|_min=1，設(shè)G（x）=$\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$，則${G^'}（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，故G（x）在（0，e）上是增加的，在（e，+∞）上是減少的，故$G{（x）_{max}}=G（e）=\frac{1}{e}+\frac{1}{2}＜1$，G（x）_max＜|f（x）|_min，即可證明結(jié)論；
（3）$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}+1=\frac{lnm-lnn-m+n}{m-n}+1=\frac{1}{n}×\frac{{ln\frac{m}{n}}}{{\frac{m}{n}-1}}$，$\frac{m}{{{m^2}+{n^2}}}=\frac{1}{n}×\frac{1}{{\frac{n}{m}+\frac{m}{n}}}$，m＞n＞0，可得$\frac{m}{n}-1＞0$，故只需比較ln$\frac{m}{n}$-$\frac{\frac{m}{n}-1}{\frac{n}{m}+\frac{m}{n}}$與O的大�。�

解答 （1）解：因?yàn)間（x）=lnx-2（x+1）
所以$g'（x）=\frac{1-2x}{x}$，g'（1）=-1…（1分）
又因g（1）=-4，所以切點(diǎn)為（1，-4）…（2分）
故所求的切線方程為：y+4=-（x-1），即y+x+3=0…（3分）
（2）證明：因?yàn)?f'（x）=\frac{1-x}{x}$，所以f（x）在（0，1）上是增加的，在（1，+∞）上是減少的，
所以f（x）_max=f（1）=ln1-1=-1，|f（x）|_min=1…（4分）
設(shè)G（x）=$\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$，則${G^'}（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，故G（x）在（0，e）上是增加的，在（e，+∞）上是減少的，
故$G{（x）_{max}}=G（e）=\frac{1}{e}+\frac{1}{2}＜1$，G（x）_max＜|f（x）|_min
所以$|{f（x）}|＞\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$對任意x∈（0，+∞）恒成立…（7分）
（3）解：$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}+1=\frac{lnm-lnn-m+n}{m-n}+1=\frac{1}{n}×\frac{{ln\frac{m}{n}}}{{\frac{m}{n}-1}}$，$\frac{m}{{{m^2}+{n^2}}}=\frac{1}{n}×\frac{1}{{\frac{n}{m}+\frac{m}{n}}}$
∵m＞n＞0，∴$\frac{m}{n}-1＞0$，故只需比較ln$\frac{m}{n}$-$\frac{\frac{m}{n}-1}{\frac{n}{m}+\frac{m}{n}}$與O的大小…（8分）
令$\frac{m}{n}$=t，設(shè)G（t）=lnt-$\frac{t-1}{\frac{1}{t}+t}$…（9分）
因?yàn)閠＞1，所以G'（t）＞0，所以函數(shù)G（t）在（1，+∞）上是增加的，
故G（t）＞G（1）=0…（10分）
所以 G（t）＞0對任意t＞1恒成立…（11分）
即$ln\frac{m}{n}＞\frac{{\frac{m}{n}-1}}{{\frac{n}{m}+\frac{m}{n}}}$，從而有$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}+1$＞$\frac{m}{{{m^2}+{n^2}}}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．