Question

3．已知A，D分別是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左頂點和上頂點，點P是線段AD上的任意一點，點F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左，右焦點，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值是1，最小值是-$\frac{11}{5}$，則橢圓的標準方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

Answer 1

分析 由題意$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值是1，可得a²-c²=1，即b=1，利用$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的是最小值是-$\frac{11}{5}$，解得a，b，即可求橢圓方程．

解答 解：由題意$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值是1，可得a²-c²=1，即b=1，
∴AD的方程為y=$\frac{x}{a}$+1，
設P（x，y）（-a≤x≤0），
則$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=（x+c，y）•（x-c，y）=x²-c²+y²=（1+$\frac{1}{{a}^{2}}$）（x+$\frac{a}{1+{a}^{2}}$）²-$\frac{{a}^{4}-{a}^{2}-1}{1+{a}^{2}}$
∵$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最小值是-$\frac{11}{5}$，
∴-$\frac{{a}^{4}-{a}^{2}-1}{1+{a}^{2}}$=-$\frac{11}{5}$，
∴a=2，b=1，
所求的橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、向量的數量積的坐標表示，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．